Formule de Taylor :
Soit \(f{{\in\mathcal C^\infty}}\). On a : $${{f(x)}}={{\sum^N_{n=0}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_N(x)}}$$ avec $${{R_N(x)}}={{\frac{x^{N+1} }{(N+1)!}\int^1_0(N+1)(1-t)^Nf^{(N+1)}(tx)\,dt}}$$ on appelle \(R_N(x)\) le reste intégral de Taylor
Corollaires
Remarque :
\(f\) est développable en série entière si et seulement si son reste intégral de Taylor vérifie \(R_N(x)\underset{N\to+\infty}\longrightarrow0\) \(\forall x\in\,]-\delta,\delta[\)
